Improper Rotation

Definition / 定义

“Improper rotation”常指不正旋转 / 反常旋转：在几何与群论中，指把旋转与反射（或镜像）结合在一起的空间变换（属于正交变换中的“行列式为 -1”的那类），常见形式包括镜面反射、反演以及旋转反射（roto-reflection）等。与之相对的是只包含纯旋转的“proper rotation（正旋转）”。

Pronunciation / 发音

/ɪmˈprɑːpər roʊˈteɪʃən/

Examples / 例句

An improper rotation can flip a shape as well as turn it.
不正旋转不仅能让形状转动，还会把它翻转（镜像）。

In 3D geometry, an improper rotation is often described as a rotation followed by a reflection through a plane, and it changes the handedness of an object.
在三维几何里，不正旋转常被描述为“先旋转再关于某个平面反射”，它会改变物体的左右手性（手征性）。

Etymology / 词源

“Improper”来自拉丁语 *im-*（否定前缀）+ proprius（“自身的、恰当的”），引申为“不合适的/不符合规范的”。在数学语境中，“proper / improper”常用于区分“符合某类标准的”与“包含额外操作、性质不同的”。“Rotation”来自拉丁语 rotare（转动），因此“improper rotation”字面义就是“非标准的旋转”，指不再是纯旋转、而是混合了反射等操作的变换。

Related Words / 相关词

• Proper Rotation
• Rotation
• Reflection
• Roto-Reflection
• Orthogonal Transformation
• Inversion
• Symmetry Operation
• Point Group
• Handedness
• Chirality

Literary Works / 文学作品

• Molecular Symmetry and Group Theory（Alan Vincent）：在分子对称性与点群讨论中使用“improper rotation”来讲解如 \(S_n\) 轴等概念。
• Chemical Applications of Group Theory（F. Albert Cotton）：系统介绍对称操作，包含不正旋转（如 \(S_4\) 等）在化学与光谱学中的应用。
• Group Theory and Its Application to Physical Problems（Morton Hamermesh）：在物理问题的群论框架中讨论正交群元素，包括与不正旋转相关的变换分类。